সহজে গুন ও ভাগ করার নিয়ম ( Tricky Approach for Multiplication and Division)

গুন (Multiplication)

1. যে কোন সংখ্যাকে 11 দ্বারা গুনঃ-

step-I :- প্রথমে ডান দিক থেকে শুরু করবে এবং ডান দিকের শেষ অঙ্ক বসাবে।

Step-II: - এর পর ডানদিকের শেষ অঙ্কের সঙ্গে আগের অঙ্ক যোগ করে বসাবে এবং হাতের (carry) তার আগের অঙ্কের সঙ্গে যোগ করবে।

Step-III: - এই ভাবে শেষ পর্যন্ত চলতে থাকবে।

উদঃ 5786942 * 11 = ?

সঃ ১ম = 2,2বসবে   

২য় = 2 + 4 =6,6 বসবে 

৩য় = 4 + 9 = 13, 3 বসবে এবং হাতের 1, 9 এর সঙ্গে যোগ হবে। 

৪র্থ = 1 + 6 + 9 =16, 6 বসবে এবং হাতের 1, 6এর সঙ্গে যোগ হবে। 

৫ম = 1 + 8 + 6 = 15, 5 বসবে এবং হাতের 1, 8 এর সঙ্গে যোগ হবে। 

৬স্ট = 1 + 7 + 8 =16, 6 বসবে এবং হাতের 1, 7 এর সঙ্গে যোগ হবে। 

৭ম = 1+ 5 + 7 = 13, 3 বসবে এবং হাতের 1,  এর সঙ্গে যোগ হবে। শেষ = 1 + 5 =6

   5786942 *  11 = 63656362

2. যে কোন সংখ্যাকে 12 থেকে 19 পর্যন্ত সংখ্যা দ্বারা গুনঃ-

Step-I: - যে সংখ্যাটিকে গুন করবে সেই সংখ্যার ডান দিক থেকে শেষ অঙ্কের সঙ্গে যে সংখ্যাটি দ্বারা গুন করবে সেই সংখ্যার সুধুমাত্র শেষ অঙ্ক গুন করে বসাবে এবং হাতের পরে বাব্যহার হবে।

Step-II: - এর পর সংখ্যাটির আগের অঙ্কর সঙ্গে গুন করবে এবং সঙ্গে পরের অঙ্ক এবং হাতের যোগ করবে।

Step-II: - আগের পদ্ধতি শেষ পর্যন্ত করবে এবং শেষে শেষ অঙ্কের সঙ্গে হাতের যোগ করবে।

উদঃ 5687 *12 = ?

সঃ   1^st  7 *  2 = 1(4), carry -->1. 

2^nd   8 * 2 + 7 + 1 =2(4), C --> 2.

 3^rd  6  * 2 + 8 + 2 = 2(2), C -->2, 

4^th  5 *  2 + 6 + 2 = 1(8), C -->1.

Last  5 + 1 = 6

   5687 * 12 = 68244

3.  যে সমস্ত সংখ্যার শেষ অঙ্ক 5 , সেই সমস্ত সংখ্যার গুনঃ-

Step-I: - বাঁদিক থেকে শুরু করবে এবং সংখ্যা দুটির শেষ অঙ্ক বাদ দিয়ে  অবশিষ্ট অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি যদি জোড় হয় তবে গুনফলের শেষ অঙ্কদ্বয় 25 বসবে নতুবা 75 বসবে।

Step-II: -  অবশিষ্ট অঙ্কদ্বয়ের গুনফলের সঙ্গে অবশিষ্ট অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির অর্ধেক ( পুর্ণ সংখ্যা) যুক্ত করবে।

উদঃ-  75 *125 = ?   
সঃ- 1^st  7 + 12 = 19 অযুগ্ম, সুতরাং গুনফলের শেষে 75 বসবে।  
2^nd  7 * 12 + 19/2 (পুর্ণ সংখ্যা) = 84 + 9 =93

 75 * 125 = 9375

উদঃ 75 * 95 = ?  
 সঃ- 1^st  7 + 9 = 16 অযুগ্ম, সুতরাং গুনফলের শেষে 25 বসবে।  
2^nd  7 *  9 + 16/2 (পুর্ণ সংখ্যা) = 63 + 8 =71

 75 *  95 = 7125

4. দুই অঙ্কের সংখ্যার শেষ অঙ্ক এক থাকলে গুনঃ-

Step-I:- সংখ্যা দুটির ডানদিকের অঙ্কের গুন করে বসাতে হবে।

Step-II:- এরপর বাঁদিকের অঙ্ক দুটি যোগ করে বসাতে হবে এবং হাতের পরে যোগ হবে।

Step-II:- এরপর বাঁদিকের অঙ্ক দুটি গুন করে ইহার সঙ্গে হাতের যোগ করে বসাতে হবে।

উদঃ  71 *  91 = ?    

সঃ 1^st 1   = 1, 

2^nd  7 + 9 = 1(6), Carry --> 1,

3^rd  7 *  9 + 1 = 64,   

75 * 95 = 6461

5. কোন সংখ্যাকে   9 বা 99 বা 999 দ্বারা গুনঃ-

প্রথমে সংখ্যাটিকে 10 বা 100 বা 1000 দ্বারা গুন করে সেই গুনফল থেকে সংখ্যাটি বাদ দিলে উত্তর পাওয়া যাবে।

উদঃ-  8975 *  99  = ?   

সঃ 8975 * 100 - 8975 = 897500 -8975 = 888525

উদঃ   54687 *  999 = ?   

সঃ 54687000 -­  54687 = 54632313

6. কোন সংখ্যাকে   101 বা 1001 বা 10001 দ্বারা গুনঃ-

প্রথমে সংখ্যাটিকে 10 বা 100 বা 1000 দ্বারা গুন করে সেই গুনফলের সঙ্গে  সংখ্যাটি যোগ করলে দিলে উত্তর পাওয়া যাবে।

উদঃ-  975 *  101  = ?  

 সঃ 975 * 100 +  975 = 97500 + 975 = 98475

উদঃ   546 * 10001 = ?   

সঃ 5460000 ­+  546 = 5460546

7.  1014 *  986 = (1000 + 14)(1000 – 14) = 1000000 – 196 = 999804

8.  1307 * 1307 =(1300 + 7)(1300 + 7)=1690000 + 18200 + 49 =1708249

9. 1399  * 1399 = (1400 – 1)(1400 – 1) = 1960000 -2800 + 1 = 1957201

বিভাজ্য(Division)

1. 2 দ্বারা বিভাজ্যঃ- যে সমস্ত সংখ্যার শেষ বা একক অঙ্ক শুন্য বা যুগ্ম সেই সমস্ত সংখ্যা 2 দ্বারা বিভাজ্য।

যেমন, 542,680,798 ইত্যাদি সংখ্যার একক অঙ্ক যথাক্রমে 2,0,8 সুতরাং সংখ্যাটি তিনটি 2 দ্বারা বিভাজ্য।

2. 3 দ্বারা বিভাজ্যঃ- যদি সংখ্যাটির অঙ্কগুলির সমষ্টি 3 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে সংখ্যাটি 3 দ্বারা বিভাজ্য।

যেমন, 986121 সংখ্যাটির অঙ্কগুলির সমষ্টি 9 + 8 + 6 + 1 + 2 + 1 =27, 3 দ্বারা বিভাজ্য । সুতরাং সংখ্যাটি 3 দ্বারা বিভাজ্য।

3. 4 দ্বারা বিভাজ্যঃ- যদি কোন সংখ্যার শেষ দুটি অঙ্ক শুন্য বা 4 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে সংখ্যাটি 4  দ্বারা বিভাজ্য।

যেমন, 26428  সংখ্যাটির শেষ অঙ্ক দুটি 28, 4 দ্বারা বিভাজ্য, সুতরাং সংখ্যাটি 4 দ্বারা বিভাজ্য।

4. 5 দ্বারা বিভাজ্যঃ- যদি কোন সংখ্যার শেষ অঙ্ক শুন্য বা 5 হয় তবে সংখ্যাটি 5 দ্বারা বিভাজ্য।

যেমন, 3465,24650 সংখ্যা দুটির শেষ অঙ্ক 5 ও শুন্য। সুতরাং সংখ্যাদুটি 5 দ্বারা বিভাজ্য।

5. 6 দ্বারা বিভাজ্যঃ- যদি কোন সংখ্যা 2 ও 3 দ্বারা পৃথক ভাবে বিভাজ্য হয় তবে সংখ্যাটি   6 দ্বারা বিভাজ্য।

যেমন, 63924 সংখ্যাটি 2 দ্বারা বিভাজ্য এবং 6 + 3 + 9 + 2 + 4 = 24, 3 দ্বারা বিভাজ্য, সুতরাং সংখ্যাটি 6 দ্বারা বিভাজ্য।

6. 7 দ্বারা বিভাজ্যঃ- কোন সংখ্যার ডান দিক থেকে তিনটি করে অঙ্ক নিয়ে গঠিত জোড় স্থানের ও বিজোড় স্থানের সংখ্যার যোগফলের অন্তর শুন্য বা 7 দ্বারা বিভাজ্য হয় সংখ্যাটি 7 দ্বারা বিভাজ্য।

যেমন, 264389132 সংখ্যাটির ডান দিক থেকে তিনটি করে অঙ্ক নিয়ে গঠিত জোড় স্থানের যোগফল = 389 এবং বিজোড় স্থানের যোগফল = 132 + 264 = 396,  ইহাদের বিয়োগফল = 396-389 = 7, 7 দ্বারা বিভাজ্য , সুতরাং সংখ্যাটি 7 দ্বারা বিভাজ্য।

*** যদি কোন সংখ্যার ডানদিক থেকে শেষ অঙ্কের সঙ্গে 2 গুন করে গুনফলটি বাকি অঙ্ক গুলি দ্বারা গটিত সংখ্যা থেকে বিয়োগ করলে বিয়োগফলটি 7 দ্বারা বিভাজ্য হলে  সংখ্যাটি 7  দ্বারা বিভাজ্য।

যেমন, 959  95 – (2 *  9) = 95 – 18 = 77, 7 দ্বারা বিভাজ্য, সুতরাং সংখ্যাটি 7 দ্বারা বিভাজ্য।

7. 8 দ্বারা বিভাজ্যঃ- যদি কোন সংখ্যার শেষ তিনটি অঙ্ক শুন্য বা 8 দ্বারা বিভাজ্য তবে সংখ্যাটি 8 দ্বারা বিভাজ্য.

যেমন, 953360 সংখ্যাটির শেষ তিনটি অঙ্ক দ্বারা সংখ্যাটি 360, 8 দ্বারা বিভাজ্য, সুতরাং সংখ্যাটি 8 দ্বারা বিভাজ্য।

8. 9 দ্বারা বিভাজ্যঃ- যদি সংখ্যাটির অঙ্ক গুলির সমষ্টি 9 দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি 9 দ্বারা বিভাজ্য।

যেমন, 60732 সংখ্যাটির অঙ্ক গুলির সমষ্টি 6 + 0 + 7 + 3 + 2 =18, 9 দ্বারা বিভাজ্য, সুতরাং সংখ্যাটি 9 দ্বারা বিভাজ্য।

9. 10 দ্বারা বিভাজ্যঃ- কোন সংখ্যার একক অঙ্ক শুন্য হলে সংখ্যাটি 10 দ্বারা বিভাজ্য।

যেমন, 456870 সংখ্যাটির একক অঙ্ক শুন্য, সুতরাং সংখ্যাটি 10  দ্বারা বিভাজ্য।

10. 11 দ্বারা বিভাজ্যঃ- যদি কোন সংখ্যার ডান দিক থেকে জোড় স্থানের ও বিজোড় স্থানের অঙ্কগুলির যোগফলের অন্তর শুন্য বা 11 দ্বারা বিভাজ্য তবে সংখ্যাটি 11 দ্বারা বিভাজ্য।

যেমন, 4832718 সংখ্যাটির জোড় স্থানের অঙ্কগুলির সমষ্টি = 1 + 2 + 8 =11 এবং বিজোর স্থানের অঙ্কগুলির সমষ্টি = 8 + 7 + 3 + 4 = 22, ইহাদের অন্তর = 22 – 11 =11, 11 দ্বারা বিভাজ্য, সুতরাং সংখ্যাটি 11 দ্বারা বিভাজ্য।

11. 12 দ্বারা বিভাজ্যঃ-  যদি কোন সংখ্যা পৃথক ভাবে 3 ও 4 দ্বারা বিভাজ্য তবে সংখ্যাটি 12 দ্বারা বিভাজ্য।

যেমন, 15156 সংখ্যাটি পৃথক ভাবে 3 ও 4 দ্বারা বিভাজ্য সুতরাং সংখ্যাটি 12 দ্বারা বিভাজ্য।

12. 13 দ্বারা বিভাজ্যঃ- কোন সংখ্যার ডান দিক থেকে তিনটি করে অঙ্ক নিয়ে গঠিত জোড় স্থানের ও বিজোড় স্থানের সংখ্যার যোগফলের অন্তর শুন্য বা 13 দ্বারা বিভাজ্য হয় সংখ্যাটি 13 দ্বারা বিভাজ্য।

যেমন, 6944808 সংখ্যাটির ডান দিক থেকে তিনটি করে অঙ্ক নিয়ে গঠিত জোড় স্থানের যোগফল = 944 এবং বিজোড় স্থানের যোগফল = 808 + 6 = 814,  ইহাদের বিয়োগফল = 944 – 814  = 130, 13 দ্বারা বিভাজ্য , সুতরাং সংখ্যাটি 13 দ্বারা বিভাজ্য।

* যদি কোন সংখ্যার ডানদিক থেকে শেষ অঙ্কের সঙ্গে 4 গুন করে গুনফলটি বাকি অঙ্ক গুলি দ্বারা গটিত সংখ্যার সঙ্গে যোগ করলে যোগফলটি 13 দ্বারা বিভাজ্য হলে  সংখ্যাটি 13  দ্বারা বিভাজ্য।

যেমন, 143  14 + (4  3) = 14 + 12 = 26, 13 দ্বারা বিভাজ্য, সুতরাং সংখ্যাটি 13 দ্বারা বিভাজ্য।

13. 14 দ্বারা বিভাজ্যঃ- যদি কোন সংখ্যা পৃথক ভাবে 2 ও  7 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে সংখ্যাটি 14 দ্বারা বিভাজ্য।

যেমন, 756 সংখ্যাটি পৃথক ভাবে 2 ও 7 দ্বারা বিভাজ্য,সুতরাং সংখ্যাটি 14 দ্বারা বিভাজ্য।

14. 15 দ্বারা বিভাজ্যঃ- যদি কোন সংখ্যা পৃথক ভাবে 3 ও  5 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে সংখ্যাটি 15 দ্বারা বিভাজ্য।

যেমন, 756 সংখ্যাটি পৃথক ভাবে 3 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য,সুতরাং সংখ্যাটি 15  দ্বারা বিভাজ্য।

15. 16 দ্বারা বিভাজ্যঃ- যোদি কোন সংখ্যার শেষ চারটি অঙ্ক শুন্য বা 16 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে সংখ্যাটি 16  দ্বারা বিভাজ্য।

যেমন, 19936 সংখ্যাটির শেষ চারটি অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যা 9936, 16 দ্বারা বিভাজ্য,বিভাজ্য,সুতরাং সংখ্যাটি 16  দ্বারা বিভাজ্য।

16. 17 দ্বারা বিভাজ্যঃ- যদি কোন সংখ্যার ডানদিক থেকে শেষ অঙ্কের সঙ্গে 5 গুন করে গুনফলটি বাকি অঙ্ক গুলি দ্বারা গটিত সংখ্যা থেকে বিয়োগ করলে বিয়োগফলটি 17 দ্বারা বিভাজ্য হলে  সংখ্যাটি 17  দ্বারা বিভাজ্য।

যেমন, 25126  2512 – (5  6) = 2512 – 30 = 2482  248 – (5  2) = 248 – 10 = 238  23 – (5  8) = 23 – 40 = - 17,17 দ্বারা বিভাজ্য, সুতরাং সংখ্যাটি 17 দ্বারা বিভাজ্য।

17. 18 দ্বারা বিভাজ্যঃ- যদি কোন সংখ্যা পৃথক ভাবে 2 ও  9 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে সংখ্যাটি 18 দ্বারা বিভাজ্য।

যেমন, 273690 সংখ্যাটি পৃথক ভাবে 2 ও 9 দ্বারা বিভাজ্য,সুতরাং সংখ্যাটি 18  দ্বারা বিভাজ্য।

18. 19 দ্বারা বিভাজ্যঃ- যদি কোন সংখ্যার ডানদিক থেকে শেষ অঙ্কের সঙ্গে 2 গুন করে গুনফলটি বাকি অঙ্ক গুলি দ্বারা গটিত সংখ্যার সঙ্গে যোগ করলে যোগফলটি 19 দ্বারা বিভাজ্য হলে  সংখ্যাটি 19  দ্বারা বিভাজ্য।

যেমন, 149264  14926 + (2  4) = 14926 + 8 = 14934  1493 + (2  4) = 1493 + 8 = 1501  150 + (2  1) = 150 + 2 = 152  15 + (2  2) = 19, 19 দ্বারা বিভাজ্য, সুতরাং সংখ্যাটি 19 দ্বারা বিভাজ্য।

19. যে কোন তিন অঙ্কের সংখ্যা পরপর দুইবার থাকলে সংখ্যাটি 7,11,13 দ্বারা বিভাজ্য।

যেমন 678678 সংখ্যাটি 7,11,13,1001 দ্বারা বিভাজ্য।

20. যে কোন দুই অঙ্কের সংখ্যা পরপর তিনবার থাকলে সংখ্যাটি 3, 7, 13, 37, 39 দ্বারা বিভাজ্য।

যেমন 686868 সংখ্যাটি 3,7,13,37,39 দ্বারা বিভাজ্য।

21. যে কোন দুই অঙ্কের সংখ্যা পরপর দুইবার থাকলে সংখ্যাটি 101 দ্বারা বিভাজ্য।

যেমন 8585 সংখ্যাটি 101 দ্বারা বিভাজ্য।

22. কোন সংখ্যাকে  X  দ্বারা ভাগ করলে যদি Y  ভাগশেষ থাকে তবে ওই সংখ্যাকে Z দ্বারা ভাগ করলে কত ভাগশেষ থাকবে ?

Sol: যদি X, Y দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে নির্নীয় ভাগশেষ =  এর ভাগশেষ।

কোন সংখ্যাকে  296  দ্বারা ভাগ করলে যদি 75  ভাগশেষ থাকে তবে ওই সংখ্যাকে 37 দ্বারা ভাগ করলে কত ভাগশেষ থাকবে ?

Sol: 296, 37 দ্বারা বিভাজ্য,  নির্নীয় ভাগশেষ =  (75/37) এর ভাগশেষ।

                                                                        = 1

**  কোন সংখ্যাকে 25 দ্বারা ভাগ করার নিয়মঃ-

Step –II : সংখ্যাটিকে প্রথমে 4 দ্বারা গুন করবে।

Step – II : গুনফলটির ডান দিক থেকে দশমিক দুই ঘর বাম দিকে সরাবে।

যেমন, (5426/25)   = (5426*4)/100   = 217.04

**  কোন সংখ্যাকে 50 দ্বারা ভাগ করার নিয়মঃ-

Step –II : সংখ্যাটিকে প্রথমে 2 দ্বারা গুন করবে।

Step – II : গুনফলটির ডান দিক থেকে দশমিক দুই ঘর বাম দিকে সরাবে।

যেমন, ( 87456/50)  = (87456*2)/100   =  1749.12

23.(xⁿ + aⁿ ) রাশিটি সর্বদা (x + a) বিভাজ্য যখন n অযুগ্ম

যেমন (31¹⁵ + 11¹⁵ ) রাশিটি সর্বদা (31 + 11) = 42 দ্বারা বিভাজ্য।

24. (xⁿ - aⁿ ) রাশিটি সর্বদা (x + a) বিভাজ্য যখন n যুগ্ম।

যেমন ( (31¹⁸ - 11¹⁸ )  ) রাশিটি সর্বদা (31 + 11) = 42 দ্বারা বিভাজ্য।

25. (xⁿ - aⁿ ) রাশিটি সর্বদা (x - a) বিভাজ্য যখন n অযুগ্ম বা যুগ্ম।

যেমন (31¹⁵ - 11¹⁵ ) রাশিটি সর্বদা (31 - 11) = 20 দ্বারা বিভাজ্য।