যোগ এবং বিয়োগ (Addition and Subtraction)

এক লাইনে সংখ্যা /দশমিক ভগ্নাংশ যোগ / বিয়োগ করার নিয়ম।

Ex. 707.325 + 1923.82+ 58.009 + 564.943 + 65.6

Step-I: দশ্মিকের পর সমান অঙ্ক নিতে হবে এবং এর জন্য প্রয়োজনে দশ্মিকের পরের সংখ্যা গুলির ডান দিকে শুন্য বসাতে হবে।

707.325+1923.820+58.009+564.943+65.600

Step-II: ডান দিক থেকে যোগ শুরু করতে হবে এবং যে অঙ্ক গুলির যোগ করা হবে সেই অঙ্ক গুলি কেটে দাও। যোগফল ১০ থেকে বেশী হলে হাতে (carry) নাও এবং সেটা পরের সংখ্যার সঙ্গে যোগ কর।

707.325+1923.820+58.009+564.943+65.600=_. _ 7

হাতে (carry) = 1

Step-III: আগের হাতের সঙ্গের দান দিক থেকে দ্বিতীয় অঙ্ক গুলি যোগ কর এবং পরের সংখ্যার সঙ্গের যোগ কর।

707.325+1923.820+58.009+564.943+65.600=_ _.97

          এই ভাবে আমরা একই নিয়ম প্রয়োগ করার পর উত্তর পাব।

707.325+1923.820+58.009+564.943+65.600=3319.697

53921+6308+86+7025+11132 = ?

যোগ ও বিয়োগ এক সঙ্গে থাকলে আগের পদ্ধতি দ্বারা একই চিহ্ন গুলি প্রথমে যোগ করব তার পর বেশিটা থেকে কমটা বিয়োগ করে বেশিটার চিহ্ন নিব।

যেমন, 5124-829+731-435 = 5855-1264 = 4591

সংখ্যার যোগফলঃ

1. প্রথম n সংখ্যাক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল ={n(n+1)}/2

উদঃ 1 থেকে 100 পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল কত?

সঃ  Sum(S) =  =(100*101)/2 = 5050

2. প্রথম n সংখ্যাক অযুগ্ম সংখ্যার যোগফল = n²

উদঃ প্রথম  50 টি অযুগ্ম সংখ্যার সমষ্টি কত?

সঃ  S = 1+3+5+ ………. 50 টি সংখ্যা

         = 50² = 2500

উদঃ 1 থেকে 50 পর্যন্ত অযুগ্ম সংখ্যার যোগফল কত?

সঃ  S = 1+3+5+ ……..+ 49

  n = (শেষ অযুগ্ম সংখ্যা +1 )/2

   n =  ( 49+1)/2 = 25

 S = 25² = 625

3. প্রথম n সংখ্যাক যুগ্ম সংখ্যার যোগফল = n(n+1)

উদঃ প্রথম  100 টি যুগ্ম সংখ্যার সমষ্টি কত?

সঃ   S = 2 + 4 + 6 + ………… 100 টি সংখ্যা

         = 100(100+1) = 100*101 = 10100

উদঃ 1 থেকে 150 পর্যন্ত যুগ্ম সংখ্যার যোগফল কত?

সঃ   S = 2 + 4 + 6 + …….. + 150

    n = শেষ যুগ্ম সংখ্যা / 2 = 150/2=75

    S = 75(75+1) = 5700

   

4.  প্রথম n সংখ্যাক  স্বাভাবিক পূর্ণ বর্গ সংখ্যার সমষ্টি = {n(n+1)(2n+1)}/6

উদঃ  1 থেকে 20 পর্যন্ত পূর্ণ বর্গ সংখ্যার সমষ্টি কত?

সঃ  S = 1² + 2² + 3² + …….. + 20² = (20*21*41)/6 = 2870

                     

5. প্রথম n সংখ্যাক  স্বাভাবিক পূর্ণ ঘন সংখ্যার সমষ্টি =[{n(n+1)}/2]²

উদঃ 1 থেকে 10 পর্যন্ত ঘন সংখ্যার সমষ্টি কত ? 

 Sol.  S = 1³ + 2³ + 3³ + ............ +10^{3
              = {(10*11)/2}2}

               = 3025

6. Arithmetic Progression (AP): কোন শ্রেনীর পরপর দুটি পদের অন্তর সমান হলে শ্রেনীটিকে AP বলে এবং সমান অন্তরটিকে সাধারন অন্তর (common difference) বলে।

যেমন প্রথম পদ a এবং সাধারন অন্তর d হলে

শ্রেনীটি হোল a, a+d, a+2d, a+3d, …………….

n তম পদটি t_n =  a + (n-1)d এবং

পদ্গুলির সমষ্টি S_n =  {2a + (n-1)d}

                                  = n/2 * { প্রথম পদ + শেষ পদ}

7. Geometric Progression (GP): কোন শ্রেনীর পরপর দুটি পদের ভাগফল সমান হলে শ্রেনীটিকে GP বলে এবং সমান ভাগফলটিকে সাধারন অনুপাত ( common ratio) বলে।

যেমন প্রথম পদ a এবং সাধারন অনুপাত r  হলে

শ্রেনীটি হোল a, ar, ar², ar³, .......

n তম পদটি t_n =   ar^n-1 এবং

পদ্গুলির সমষ্টি S_n = a(1-rⁿ)/(1-r)

8. দুটি সংখ্যার যোগফল ও বিয়োগফল দেওয়া থাকলেঃ-

·         বৃহত্তম সংখ্যা = (যোগফল  + বিয়োগফল ) /2

·         ক্ষুদ্রতম সিংখ্যা = (যোগফল  - বিয়োগফল )/2

·         সংখ্যা দুটির গুনফল ={ (যোগফল  + বিয়োগফল ) (যোগফল  - বিয়োগফল )}/4

·         সংখ্যা দুটির বর্গের পার্থক্য = (যোগফল  * বিয়োগফল )

9. পরপর দুটি সংখ্যার বর্গের পার্থক্য n হলে

   বৃহত্তম সংখ্যা = (n + 1)/2  ক্ষুদ্রতম সিংখ্যা = (n-1)/2

    পরপর (consecutive) সংখ্যার ক্ষেত্রে কিছু টিপসঃ-

·         বৃহত্তম সংখ্যা = সংখ্যা গুলির গড় + (n +1)/2   , যেখানে n= যতগুলি সংখ্যা।

·         ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = সংখ্যা গুলির গড় - (n-1)/2  , যেখানে n= যতগুলি সংখ্যা।

·         বৃহত্তম সংখ্যা - ক্ষুদ্রতম সংখ্যা =  (n-1)

·         বৃহত্তম সংখ্যা +  ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 2* সংখ্যা গুলির গড়

উদঃ পরপর তিনটি সংখ্যার গড় 51 হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যা কত?

সমাধানঃ  বৃহত্তম সংখ্যা = 51+ (3 -1)/2 = 51+1=52

ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 51-  = 51-1=50

পরপর যুগ্ম(even) ও অযুগ্ম (odd) সংখ্যার ক্ষেত্রে কিছু টিপসঃ-

·         বৃহত্তম সংখ্যা = সংখ্যা গুলির গড় + (n-1) , যেখানে  n= যতগুলি সংখ্যা।

·         ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = সংখ্যা গুলির গড় - (n-1)  , যেখানে  n= যতগুলি সংখ্যা।

·         বৃহত্তম সংখ্যা +  ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 2* সংখ্যা গুলির গড়

·         বৃহত্তম সংখ্যা - ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 2(n-1)